Читечан А.Н.

УДК 669.02./.09

ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Читечян А. Н.

Кафедра металлургии, Липецкий государственный технический университет. 398600, г. Липецк, ул. Московская 30

Аннотация

Рассматривается возможность использования вейвлет-анализа для выявления сигналов с фрактальной структурой при конверторной плавке.

Ключевые слова:

Вейвлет-анализ является одним из перспективных методов, применяемых в настоящее время для анализа временных сигналов [2]. В отличие от анализа при помощи Фурье-спектров (спектральный анализ) [1] он обладает рядом преимуществ [2]. Вейвлет-преобразование хорошо локализовано во времени, что позволяет выявлять структуру исследуемого сигнала на отдельных временных интервалах [2]. Кроме того, использование многомасштабного разложения дает возможность анализировать процесс на различных масштабах времени, а также выявлять ряд важных особенностей сигналов, связанных с изменением его структуры при переходе от одного масштаба к другому, с распределением энергии между масштабами и т. д [2].

Масштабно-временная локализация вейвлет-преобразования обусловлена принципом построения ортогонального базиса разложения [2]. В отличие от Фурье-преобразования, где в качестве базиса используются гармонические функции [1], базис вейвлет-разложения составляет локализованная во времени, т. е. быстро убывающая солитоноподобная функция [2]:

где t – время, a представляет собой масштабный коэффициент и определяет величину растяжения вейвлета, b имеет размерность времени и определяет величину сдвига вейвлет-функции [2]. В настоящее время существует целый ряд таких функций [2].

Вычисление вейвлет-преобразования осуществляется путем свертки исследуемой временной последовательности с вейвлет-функцией:

Результатом вейвлет-преобразования сигнала является двухмерный набор коэффициентов W(a,b). Выбором типа функции определяются свойства полученного преобразования [2].

Нами случае были использованы два типа вейвлетов: вейвлет Морле, позволяющий выявлять периодические составляющие сигнала, и MHAT-вейвлет, используемый для изучения перераспределения сигнала на разных масштабах времени [2].

В качестве исследуемого сигнала использовался массив данных анализа химического состава отходящих газов кислородно-конверторной плавки по ходу продувки. На рис. 1 показана зависимость логарифма модуля спектра Фурье этого сигнала (lg|S(f)|) от логарифма частоты. Как видно из рисунка, спектр соответствует шуму 1/f (фликер-шум)^* [3], поскольку график для всех значений частоты имеет примерно равный наклон, т.е. сигнал имеет линейную сглаженную спектральную плотность [1].

Рис. 1. Зависимость логарифмической спектральной плотности
исследуемого сигнала от логарифма частоты

Вейвлет-преобразование сигнала осуществлялось с использованием математического пакета Matlab. Результаты преобразования приведены на рисунках 2а и 2б. Двухмерные массивы коэффициентов показаны в виде точечных изображений, при этом численные значения показаны оттенками серого цвета. В нашем случае использовано 16 оттенков. Наиболее яркие части изображения соответствуют максимальным значениям коэффициентов. На рисунке 2б показано разложение сигнала с использованием вейвлета Морле. Можно видеть, что на различных масштабах имеются участки локальных периодичностей, однако при этом невозможно выделить некую “характерную частоту” [2].

Рис. 2. Вейвлет-преобразование сигнала

а-исходный сигнал; б-разложение с использованием вейвлета Морле;
в-разложение с использованием MHAT-вейвлета

На рисунке 2в показано разложение того же сигнала с помощью MHAT-вейвлета. В обоих случаях видны ветвящиеся древовидные структуры. При этом ветвление происходит практически на всех масштабах, а не на определенных масштабах, характерных для сигналов с линейчатым спектром. Можно сказать, что в любой момент времени значение координаты определяется составляющими практически всех наблюдаемых масштабов. Такое вейвлет-изображение вполне характерно для процессов с 1/f-подобным спектром. Совершенно хаотичный процесс имеет “травовидный” вейвлет-образ [3]. В отличие от него исследуемый сигнал имеет самоподобное фрактальное вейвлет-преобразование, причем это наблюдается на различных масштабах. Это показывает наличие корреляции разномасштабных компонент, свойственное 1/f-подобным сигналам.

Из вышесказанного видно, что вейвлет-анализ позволяет оценивать структуру исследуемого сигнала, наблюдать в отдельности поведение разномасштабных компонент. Кроме того, в отличие от Фурье-преобразования вейвлет-разложение позволяет анализировать сигнал в воде составляющих его локализованных во времени элементарных процессов, что удобно для выявления локальных периодичностей и т.д.

^*Впервые фликер-шум в конверторе был обнаружен Нырковым А.Н. (ЛГТУ)

Список литературы

Макаров И.М., Менский Б.М. Линейные автоматические системы. – М.: Машиностроение, 1977. – 464 с.
Астафьев Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // Успехи физических наук. – № 11. – 1996. – С. 1145-1170.
Будников Е.Ю., Максимычев А.В., Колюбин А.В. и др. Вейвлет-анализ в применении к исследованию природы запредельного тока в электро-химической системе с катионообменной мембраной // Журнал физической химии. – № 2. – 1999. – С. 198-213.